Gradien

Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini.

Dari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(–6, –3), B(–4, –2), C(–2, –1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut.

Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut.
Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu ¹/₂. Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.
Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.

1. Pengertian Gradien

Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah
¹/₂.

2. Perhitungan Gradien

Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.

b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.

d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik
Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut.

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:

Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah ¹/₂. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.

3. Sifat-Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.
Untuk titik A(–1, 2) maka x₁ = –1, y₁ = 2.
Untuk titik B(3, 2) maka x₂ = 3, y₂ = 2.

Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.
Untuk titik C(1, 3) maka x₁ = 1, y₁ = 3.
Untuk titik D(1, –1) maka x₂ = 1, y₂ = –1.

Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut.
• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).
Untuk titik A(–2, 0) maka x₁ = –2, y₁ = 0.
Untuk titik B(0, 2) maka x₂ = 0, y₂ = 2.

• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).
Untuk titik C(0, –1) maka x₁ = 0, y₁ = –1.
Untuk titik D(1, 0) maka x₂ = 1, y₂ = 0.

Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.

Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.

Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).
Untuk titik C(3, 0) maka x₁ = 3, y₁ = 0.
Untuk titik D(0, 3) maka x₂ = 0, y₂ = 3.

• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).
Untuk titik A(–1, 0) maka x₁ = –1, y₁ = 0.
Untuk titik B(0, 1) maka x₂ = 0, y₂ = 1.

Hasil kali kedua gradien tersebut adalah

m_AB × m_CD = 1 × –1 = –1
Uraian tersebut memperjelas hal berikut:

Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.